两名运动员竞争随机模型中的 Nash 均衡

我们提出了一个玩具模型，用于随机描述两名实力不等运动员之间的竞争，其平均实力差异由参数 $d$ 表示。运动员通过选择各自的策略 $x,y\in[0,1]$ 进行交互。这些变量表示每人在竞争中投入的能量，并决定每名运动员的表现。每名运动员根据对自己和对手表现分布的了解，以及对疲劳危险的评估来选择策略，其中疲劳危险随投入能量的增加而增加。我们将此问题表述为一个零和博弈。在数学上，它属于“不连续博弈”，此类博弈事先无法保证存在 Nash 均衡。我们通过显式构造证明，对于任意 $0<d<1$，该问题存在混合策略 Nash 均衡 $\big( f(x),g(y) \big)$。概率分布 $f$ 和 $g$ 似乎均为一个连续分量与一个 Dirac delta 峰之和。值得注意的是，该问题在解析上是可解的。该 Nash 均衡为较弱和较强的运动员提供了优化其获胜机会的最佳策略。