多人随机图博弈中的 ε-平稳纳什均衡

在多人博弈中，如果没有任何玩家可以通过单方面偏离其策略来获得严格更好的收益，则该策略组合是一个纳什均衡。如果没有任何玩家可以通过单方面偏离其策略获得超过 ε 的收益，则该组合是一个 ε-纳什均衡。在这项工作中，我们使用 ε-纳什均衡来近似纳什均衡的计算。具体来说，我们关注在图上进行的回合制、多人随机博弈，其中玩家被限制使用平稳策略——即使用随机性但不使用记忆的策略。在此设定下，判定受约束的平稳纳什均衡（其中每个玩家的收益必须位于给定区间内）的存在性问题已知是 $\exists\mathbb{R}$-完全的 (Hansen and S{\o}lvsten, 2020)。我们将这一工作扩展到平稳 ε-纳什均衡，并提出了一个算法来解决以下承诺问题：给定一个存在满足约束条件的纳什均衡的博弈，计算一个 ε-纳什均衡，该均衡 ε-满足那些相同的约束条件——即满足约束条件，允许最多 ε 的附加误差。我们的算法在 FNP^NP 时间内运行。为此，我们首先证明，如果存在一个受约束的纳什均衡，那么存在一个非零概率至少为输入的双重指数倒数的均衡。我们进一步证明，如 Frederiksen 和 Miltersen (2013) 的工作中那样，这种策略可以使用浮点表示进行编码，这最终给出了我们的 FNP^NP 算法。我们进一步证明，该承诺问题的判定版本是 NP-难的。最后，我们通过证明此类技术的下界来展示一个部分紧致性结果：如果存在一个受约束的纳什均衡，那么必然存在一个策略中概率为双重指数小的均衡。