测地空间中集合的互最近点与互最远点

设 $A$ 和 $X$ 是测地度量空间 $(E,d)$ 中的非空有界闭子集。记为 $\min(A,X)$（分别为 $\max(A,X)$）的最小化（分别为最大化）问题在于寻找 $(a_0,x_0) \in A \times X$，使得 $d(a_0,x_0) = \inf\{d(a,x) : a \in A, x \in X\}$（分别为 $d(a_0,x_0) = \sup\{d(a,x) : a \in A, x \in X\}$）。我们研究这些问题在不同测地空间中的适定性，其中集合 $A$ 固定。设 $P_{b,cl,cv}(E)$ 为 $E$ 中所有非空有界闭凸子集构成的集合，并赋予 Pompeiu-Hausdorff 距离。我们证明，在具有凸度量、曲率有下界和测地线延拓性质的空间中，使得 $\max(A,X)$ 适定的 $P_{b,cl,cv}(E)$ 中的集合族是 $P_{b,cl,cv}(E)$ 中的一个稠密 $G_\delta$ 集。对于 $\min(A,X)$，我们给出了类似结果，但无需测地线延拓性质。此外，我们分析了一个或两个集合为紧集的情形，并证明了 CAT$(0)$ 空间中的一些结果。我们还证明了具有凸度量的测地空间中 Drop 定理的一个变体，并将其应用于获得凸函数的一个优化结果。