本原非亏数是否必有一个不太大于其根的子分量？

设 $n$ 为一个本原非亏数，其中 $n=p_1^{a_1}p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}$，$p_1, p_2 \cdots p_k$ 为互异素数。我们证明存在某个 $i$ 使得 $$p_i^{a_i+1} < 2k(p_1p_2p_3\cdots p_k).$$ 我们猜想事实上总可找到某个 $i$ 使得 ${p_i}^{a_i+1} < p_1p_2p_3\cdots p_k$。