模空间之音乐

此处定义一种乐器——塑料口琴（plastic hormonica），作为献给 Dennis Sullivan 的生日礼物，他开创并助力普及了作为其构造基础的双曲几何。该塑料口琴基于庞加莱圆盘的法里镶嵌（Farey tesselation），并以以有理点为圆心的标准密切 horocycle 装饰。实际上，人们敲击或按住另一镶嵌 tau 中具有相同装饰 horocycle 的点，以产生依赖于如下事实的声音：tau 中边 e 在此装饰下的 lambda 长度恒为整数。明确地说，敲击 tau 中 lambda 长度为 lambda 的装饰边 e 会产生频率为 440 xi^{lambda-12N} 的音调，其中 xi^{12}=2 且 N 为某个正整数八度移位。对 tau 边采用的另一种敲击用于施加翻转，其可对于保持 tau 的 Fuchsian 群为等变的。在等变翻转后发出该边的频率，从而可听觉体验黎曼模空间中的路径并聆听映射类。由 tau 的补集理想三角形通过发出其边界边的频率而产生的和弦，对应于经典 Markoff 三元组的推广，而后者恰为由一次穿孔环面产生的和弦。反之，可查询指定音乐作品的亏格。