多重正函数、临界指数现象与 Jain-Karlin-Schoenberg 核

我们证明了 Karlin [Trans. AMS 1964] 一个结果的逆定理，并加强其结果及 Schoenberg [Ann. of Math. 1955] 的两个结果。后者之一关涉多重正函数的拉普拉斯变换零点。其余结果研究两个特定核的哪些幂次 $\alpha$ 是 $p\geq 2$ 阶全非负（记为 TN$_p$）；两位作者均表明这在 $\alpha\geq p-2$ 时成立，且 Schoenberg 证明了在 $\alpha<p-2$ 时不成立。我们更强地表明，对于任一核的每个 $p \times p$ 子矩阵，直至一个“平移”，其 $\alpha$ 次幂在每个 $\alpha > p-2$ 时为 $p$ 阶全正（TP$_p$），且在每个非整数 $\alpha\in(0,p-2)$ 时不是 TN$_p$。特别地，这些结果揭示了全正性中的“临界指数”现象。我们还证明了 Karlin 1968 年结果的逆定理，揭示了又一临界指数现象——对所有 Polya 频率（PF）函数的拉普拉斯变换。我们进一步分类了保持区间上所有 TN$_p$ Hankel 核的幂次，并分离出编码这些幂次的个别核。随后我们将 Polya-Szego (1925)、Loewner/Horn (1969) 与 Khare-Tao（印刷中）关于保型映射的结果从正矩阵转移到 Hankel TN$_p$ 核。另一应用构造了编码 Loewner 凸幂次的个别矩阵。这补充了 Jain (2020) 关于 Loewner 正性的结果，我们将其加强到全正性。值得注意的是，Jain 的这些（加强的）结果、Schoenberg 与 Karlin 的结果、后者的逆定理以及上述 Hankel 核均源自单一对称秩二核及其幂次：$\max(1+xy,0)$。我们还遵循 Schoenberg 1951 年对 $p=2$ 的结果，给出了 $p\geq 3$ 阶 PF 函数与序列的新刻画。我们修正了他论文中在分类不连续 PF 函数时的一个小漏洞。