置换数组的多次收缩

给定 $n$ 个符号 $\{0, 1, \ldots, n-1\}$ 上的置换 $\sigma$ 与整数 $1 \leq m \leq n-1$，$\sigma$ 的第 $m$ 次收缩是指从 $\sigma$ 的循环分解中删去符号 $n-1, n-2, \ldots, n-m$ 所得到的 $n-m$ 个符号上的置换 $\sigma^{{\sf CT}^m}$。两个置换 $\sigma$ 与 $\tau$ 之间的汉明距离 ${\rm hd}(\sigma,\tau)$ 是指满足 $\sigma(x) \neq \tau(x)$ 的符号 $x$ 的个数。本文给出了单次收缩对两个置换间汉明距离影响的完整刻画。由此我们得到了 ${\rm hd}(\sigma,\tau)-{\rm hd}(\sigma^{{\sf CT}^m},\tau^{{\sf CT}^m})\leq 2m$ 成立的充分条件。