用于 Helmholtz 方程的多重网格增强深度学习预条件子
数值分析
2022-03-22 v1 计算工程、金融与科学
机器学习
数值分析
摘要
本文中，我们提出一种数据驱动方法，用于迭代求解高波数下的离散非均匀 Helmholtz 方程。在我们的方法中，我们将经典迭代求解器与卷积神经网络（CNNs）结合，构成一个预条件子，并将其应用于 Krylov 求解器内。对于预条件子，我们使用一类 U-Net 类型的 CNN，其与多重网格要素协同工作。提出两类预条件子：1）U-Net 作为粗网格求解器，以及 2）U-Net 作为带偏移 Laplacian V 循环的解 deflation 算子。遵循我们的训练方案与数据增强，我们的 CNN 预条件子可泛化于残差以及相对一般的波慢度模型集合。此外，我们还提供一个编码器-求解器框架，其中“编码器”网络对介质泛化并向另一个“求解器”网络发送上下文向量，后者对右端项泛化。我们展示该选项比独立变体更鲁棒且高效。最后，我们还提供迷你重训练过程，以在模型已知后改进求解器。该选项在求解多个右端项（如反问题中）时有益。我们在多种 2D 问题上展示了我们方法的效率与泛化能力。
引用
@article{arxiv.2203.11025,
title = {Multigrid-augmented deep learning preconditioners for the Helmholtz equation},
author = {Yael Azulay and Eran Treister},
journal= {arXiv preprint arXiv:2203.11025},
year = {2022}
}