Schwarz 亏格的单调性

纤维化 $\xi\colon E\to B$ 的 Schwarz 亏格 $\mathsf{g}(\xi)$ 定义为最小整数 $n$，使得存在 $B$ 被 $n$ 个开集的覆盖，这些开集容许到 $\xi$ 的部分截面。许多重要概念，包括 Lusternik-Schnirelmann 范畴、Farber 的拓扑复杂度和 Smale-Vassiliev 的算法复杂度，都可以自然地表示为适当选取的纤维化的 Schwarz 亏格。本文我们研究 Schwarz 亏格与纤维化之间某类态射的关系。我们的主要结果如下：如果在纤维化 $\xi\colon E\to B$ 与 $\xi'\colon E'\to B$ 之间存在纤维式映射 $f\colon E\to E'$，其对相应的纤维诱导出对足够大的 $n$ 的 $n$-等价，则 $\mathsf{g}(\xi)=\mathsf{g}(\xi')$。由此我们导出若干有趣结果，将空间的拓扑复杂度与其骨架和子空间的拓扑复杂度联系起来（对范畴同理）。例如，我们证明若 CW 复形具有高的拓扑复杂度（相对于其维数与连通性），则其骨架的拓扑复杂度是维数的增函数。