概率分布系统的单调性等价与可同步性

一个由偏序集（poset）$\mathcal{S}$ 上的概率分布族 $(P_\alpha: \alpha\in\mathcal{A})$ 构成的系统，其中 $\mathcal{A}$ 是另一个偏序集，可以通过一组 $\mathcal{S}$ 值的随机变量 $X_\alpha$ 来实现，这些随机变量的边缘分布为 $P_\alpha$。当 $\mathcal{A}$ 中 $\alpha\le\beta$ 时，若 $\mathcal{S}$ 中 $X_\alpha\le X_\beta$，则称该系统是可实现单调的。这样的系统必然是随机单调的，即当 $\alpha\le\beta$ 时满足 $P_\alpha\preceq P_\beta$（随机序）。已知在这些单调性概念何时等价，除了某一类无圈偏序集，称为 W 类。在本文中，当 $\mathcal{S}$ 是 W 类偏序集且 $\mathcal{A}$ 是可同步的时，我们递归地引入逆概率变换和同步双射，并通过显式构造 $(X_\alpha: \alpha\in\mathcal{A})$ 来验证单调性等价。我们还证明了当 $\mathcal{S}$ 属于 W 类时，可同步性是单调性等价的必要条件。