基于非局部松弛的散度自由型线性椭圆方程单调无网格方法

我们通过非局部松弛方法，针对点云上散度自由型（non-divergence form）线性椭圆方程设计了一种单调无网格有限差分方法。其核心思想是将 PDE 问题的非局部积分松弛与在点云上稳健的无网格离散新颖结合。通过局部的 $l_1$ 型优化过程获得最小正模板，该过程自动保证线性椭圆方程无网格离散的稳定性，从而确保其收敛性。一个主要理论贡献是给定点云几何下一致且正模板的存在性。我们通过在每个内点周围的椭圆（二维）或椭球（三维）内寻找邻点，给出了正模板存在的充分条件，推广了 Seibold（Comput Methods Appl Mech Eng 198(3-4):592-601, 2008）对泊松方程的研究。众所周知，为构造散度自由型线性椭圆方程的一致且单调有限差分格式，通常需要宽模板。与已有文献相比，我们的结果在近退化情形（当椭圆性常数变小时）对正型有限差分方法的模板宽度估计有显著改进。我们提供了数值算法与实用指导，着眼于小椭圆性常数的情形。最后，我们给出了方法在二维和三维下性能的 numerical 结果，考察了一系列椭圆性常数，包括近退化情形。