单调圈模型与有理共振

设 $T_{n,m}=\mathbb Z_n\times\mathbb Z_m$，并通过 $\phi(x,y)=(x+1,y)$ 或 $(x,y+1)$ 独立且等概率地定义一个随机映射 $\phi\colon T_{n,m}\to T_{n,m}$。我们研究了此类“淬火随机行走”$\phi$ 在极限 $m,n\to\infty$ 下的轨道结构，并展示了其如何敏感地依赖于比率 $m/n$。对于 $m/n$ 接近有理数 $p/q$ 的情况，我们表明可能存在数量级为 $\sqrt{n}$ 的圈，每个圈的长度为 O(n)；而对于 $m/n$ 远离任何小分母有理数的情况，圈的数量是有界的，且对于典型的 $m/n$，每个圈的长度数量级为 $n^{4/3}$。