带有 Sobolev 预算的 Monge-Kantorovich 拟合

给定 $m < n$，我们考虑通过一个 $m$ 维测度 $\nu$ “最佳”逼近 $n$ 维概率测度 $\rho$ 的问题，使得 $\mathrm{supp}\ \nu$ 具有有界的总“复杂度”。当 $\rho$ 集中在某个 $m$ 维集合附近时，我们可以将其视为带有噪声数据的流形学习问题。然而，我们并不将分析局限于这种情况，因为更一般的表述具有更广泛的应用。我们通过 Monge-Kantorovich（亦称 Wasserstein）$p$-代价 $\mathbb{W}_p^p(\rho, \nu)$ 来量化 $\nu$ 逼近 $\rho$ 的性能，并通过要求 $\mathrm{supp}\ \nu$ 能被一个 $W^{k,q}$ Sobolev 范数以 $\ell \geq 0$ 为界的函数 $f : \mathbb{R}^{m} \to \mathbb{R}^{n}$ 所覆盖来约束其复杂度。这使我们能够将该问题重新表述为在 Sobolev “预算” $\ell$ 下最小化泛函 $\mathscr J_p(f)$。当 $m=1, k = 1$ 时，该问题与带长度约束的主曲线密切相关（但有所不同）；当 $k > 1$ 时，则类似于平滑样条的无监督类比。高阶可微性条件带来了新的挑战。我们研究了 $\mathscr J_p$ 的“梯度”，该梯度由我们称之为重心场的特定向量场给出，并利用它证明了一个非平凡的（几乎）严格单调性结果。我们还提供了一种自然的离散化格式并证明了其一致性。我们将该格式作为生成学习任务的玩具模型，并通过类比，为正则化在改善训练中的作用提出了新颖的解释。