等熵 i.i.d. 过程的矩最优有限同构

由 Keane 和 Smorodinsky 提出的有限同构定理引出了一个自然问题：就编码半径的矩而言，同构可以有多“有限”？更确切地说，对于哪些值，在任意两个等熵的 i.i.d. 过程之间存在编码半径具有有限 $t$-矩的同构？[3, 4]。Parry [13] 和 Krieger [10] 证明了这些有限矩在一般情况下必须小于 1，而 Harvey 和 Peres [5] 证明了它们在一般情况下必须小于 1/2。然而，0 到 1/2 之间范围的问题仍然悬而未决，且事实上没有一般性的同构构造被证明能展现出任何非平凡的有限矩。在本工作中，我们解决了这个问题，证明了在任意两个具有相同熵的非周期 Markov 过程（特别是 i.i.d. 过程）之间，存在一个同构 $f$，其编码半径对于所有 $t \in (0,1/2)$ 均具有有限的 $t$-矩。该同构是显式构造的，并且证明了其半径尾部在多对数因子意义上是最优的。