具有幂律跃迁和相互作用的晶格中的调制不稳定性

我们研究了具有非局域幂律跃迁和相互作用的晶格中调制不稳定性的发生。以离散非线性 Schrödinger 方程为案例研究，我们考虑具有一维链的幂律衰减相互作用（指数为 $\alpha$）和跃迁（指数为 $\beta$）：当 $\alpha, \beta>1$ 时获得广延能量。我们表明，幂律相互作用的效果是将 $\alpha>1$ 时的调制不稳定性区域的起始点发生偏移。在相互作用强度的临界值处，调制稳定区域缩小至零。对于有效短程非局域跃迁（$\beta > 2$）也发现了类似结果：相比之下，对于更长程的跃迁（$1 < \beta < 2$），不再存在任何调制稳定性。跃迁不稳定性出现在 $q = 0$ 的微扰下，因此系统对与系统尺寸同阶的微扰最为敏感。我们还讨论了存在竞争相互作用（例如吸引性局域相互作用和排斥性非局域相互作用）相互影响时的稳定区域。我们发现，非竞争的非局域相互作用会导致在微扰波矢 $q = \pi$ 时出现调制不稳定性，而竞争的非局域相互作用可能会在微扰波矢 $0 < q < \pi$ 时诱发调制不稳定性。由于当 $\alpha > 1$ 且 $\beta > 2$ 时，其效应类似于有限程相互作用和/或跃迁对稳定性相图产生的效应，我们得出结论：对于 $1 < \beta < 2$ 的非局域跃迁，调制不稳定性是“真正”长程的。