基于扩散模型模拟德国某地区 COVID-19 的空间传播

在本研究中，我们提出一个积分-微分方程模型来模拟感染在局部范围内的传播。该模型在标准易感-感染-恢复（SIR）模型基础上引入积分核进行增强，从而允许易感者与感染者之间进行非均匀混合。我们定义了核函数的要求，并推导了 SIR 模型及一个简化的易感-感染-易感（SIS）模型的解析结果，特别是解的唯一性。为了在疾病防控与封锁措施所带来的社会和政治成本之间优化平衡，我们提出了控制函数实现的要求，并给出了连续且与时间相关、连续且与空间和时间相关、以及分段常数且与空间和时间相关的控制示例。后者更贴近现实，因为控制无法针对每个时间和地点进行更新。我们找到了所有这些设置下的最优控制值，其中本质上连续且与空间和时间相关的控制效果最佳，但离散设置也获得了合理的结果。为验证积分-微分方程模型的数值结果，我们将其与一个成熟的基于主体（agent-based）的模型进行比较，后者更准确地纳入了社会及其他微观因素，因此可作为积分-微分方程方法有效性的基准。两个模型结果的高度吻合验证了积分-微分方程模型作为一种高效的宏观代理模型。由于基于主体的模型计算最优控制策略的计算代价非常高，而积分-微分方程模型相对较低，使用此代理模型可能对未来研究具有有趣的意义。