私有核心集的计算难度

我们研究了差分隐私（DP）计算 $k$ 均值目标函数核心集的问题。对于给定的点集合，核心集是另一个点集合，使得对任何候选解，$k$ 均值目标函数在乘法 $(1 \pm \alpha)$ 因子（以及一些加法因子）下保持不变。我们证明了该问题的第一个计算下界。具体而言，假设存在单向函数，则表明没有任何多项式时间 $(\epsilon, 1/n^{\omega(1)})$-DP 算法可以计算 $k$ 均值核心集，其中使用 $\ell_\infty$ 度量，存在常数 $\alpha > 0$（以及常数加法因子），即使 $k=3$ 也如此。对于欧几里得度量下的 $k$ 均值，我们得到类似结果，但仅适用于 $\alpha = \Theta\left(1/d^{2}\right)$，其中 $d$ 为维数。