不可压缩流体的混合与去混合

我们研究了在正方形区域上满足周期性、无流或无滑移边界条件的不可压缩流体的高效混合与去混合问题。在一致时间约束 $\|\nabla u(\cdot,t)\|_p\leq 1$ 下，我们证明了任何函数均可在 $O(|\log\epsilon|^{1+\nu_p})$ 的时间内混合至尺度 $\epsilon$，其中当 $p<\tfrac{3+\sqrt 5}2$ 时 $\nu_p=0$，当 $p\geq \tfrac{3+\sqrt 5}2$ 时 $\nu_p\leq \tfrac 13$。已知的下界表明，该速率对于 $p\in(1,\tfrac{3+\sqrt 5}2)$ 是最优的。我们还证明，任何混合至尺度 $\epsilon$ 但未显著超过该尺度的集合，均可在 $O(|\log\epsilon|^{2-1/p})$ 的时间内去混合为同面积的矩形（误差很小）。若将流体约束改为 $\|u(\cdot,t)\|_{\dot W^{s,p}}\leq 1$（其中 $s<1$），则上述两个结果均在与尺度无关的有限时间内成立。我们所有结果中的常数均独立于被混合的函数和集合。