路径上不可分割流的一个巧妙的2+eps近似

我们研究路径上不可分割流问题（UFP），其中给定一条具有非负边容量的路径和若干任务，每个任务由一条子路径、一个需求和一个利润刻画。目标是找到总利润最大的任务子集，使得总需求不超过边容量。该问题自然出现在许多场景中，如带宽分配、资源约束调度和区间打包。一个自然的任务分类定义任务 i 的大小为需求与 i 所用边的最小容量之比 delta。如果所有任务的 delta 足够小，问题已有很好理解，存在 1+eps 近似。对于互补情形——所有任务都有大 delta——仍有许多未知，最佳已知多项式时间算法仅给出（对任意常数 delta>0）6+eps 近似比。本文针对后一情形给出多项式时间 1+eps 近似。该结果的关键是一个复杂的几何启发式动态规划。这里每个任务表示为容量曲线下的一段，我们识别出一个适当的迷宫状结构，使得计算解中每个通道只被 O(1) 个任务穿过。结合已知的 delta-小任务的 PTAS，我们的结果给出了 UFP 的 2+eps 近似，改进了之前最佳的 7+eps 近似 [Bonsma et al., FOCS 2011]。我们注意到，我们的改进近似因子与更简单的均匀边容量特例的最佳已知近似比相匹配。