被动标量混合的最优搅拌策略

我们探讨了最优不可压缩搅拌以混合初始非均匀分布的被动示踪物的挑战。作为混合的定量度量，我们采用标量涨落场的 $H^{-1}$ 范数，这等价于示踪剂浓度场低通滤波图像的方差（的平方根）。首先，我们证明了即使在没有分子扩散的情况下，这也是一种有用的度量：当 $t --> \infty$ 时该度量的趋于零，是搅拌流在遍历理论意义上具有混合性质的证据。然后，我们推导了在给定瞬时搅拌能量或搅拌功率预算的周期性空间域上，作为时间函数的混合总量的绝对极限。随后，我们确定了使该混合度量瞬时衰减最大化的流场——当这种流场存在时。当不存在这种“最速下降”流时（一种可能但非通有的情况），我们确定了使 $H^{-1}$ 范数衰减率的增长率最大化的流。这种时间局部最优搅拌策略在基准问题上进行了数值实现，并与使用受限流集合的最优控制方法进行了比较。文中还概述了分析方面的一些重大挑战。