树的极小极大中心 k-划分及其在动态合流流汇疏散中的应用

设 $T=(V,E)$ 为一棵在其子树上关联成本的树。$T$ 的极小极大 $k$-划分是一种将其划分为 $k$ 棵子树的划分，在所有可能的划分中最小化子树的最大成本。在该问题的中心化版本中，子树成本定义为使用位于其内部的中心来“服务”该子树的最小成本。启发本工作的问题是树上的汇疏散问题，即寻找一组 $k$ 个汇，使得合流动态网络流将所有供给疏散到汇所需的时间最小化。本文提供了求解该问题的首个多项式时间算法，运行时间为 $O\Bigl(\max(k,\log n) k n \log^4 n\Bigr)$。所开发的技术可用于求解满足某些极一般条件的、树上任意极小极大中心 $k$-划分问题。对于中心必须位于顶点上的离散情形和中心也可位于边上的连续情形，均可找到解。所开发的技术还改进了在预先给定汇位置时寻找树的极小极大成本 $k$-划分的已有结果。