树的 Sum-of-Max 链划分

树上的路径划分问题已有各种应用。在本文中，我们提出了一个 $O(n \log n)$ 时间算法来解决以下路径划分问题的变体：给定一棵具有 $n$ 个节点 $1, \ldots, n$ 的有根树，其中顶点 $i$ 关联权重 $w_i$ 和代价 $s_i$，将该树划分为若干不相交的链 $C_1,\ldots,C_k$，使得每条链的权重不超过阈值 $w_0$，并且每条链中最大 $s_i$ 之和最小化。我们还将该算法推广到链的代价由该链中秩最高顶点的 $s_i$ 决定的情形，该秩可由定义在所有节点上的任意全序确定，而非 $s_i$ 的值。