低秩量子态及其线性泛函的极小极大估计

在经典统计学中，一个著名范式是建立独立同分布观测实验与高斯平移实验之间的渐近等价，旨在从后者较简单的模型中获得前者复杂模型下的最优估计量。特别地，由 d 维多项分布的 $n$ 个独立同分布观测组成的统计实验，可很好地近似为由 $d-1$ 维高斯分布组成的实验。在该结果的量子版本中，已证明满秩的 $n$ 个 qudit（d 维量子态）可很好地近似为一个含经典部分（即 $d-1$ 维高斯分布）与含 $d(d-1)/2$ 个平移热态系的量子部分的量子系统。本文中，我们在 qudit 非满秩时推广了该结果。我们证明当 qudit 的秩为 $r$ 时，极限实验由 $r-1$ 维高斯分布以及平移纯态与平移热态系组成。就估计而言，我们在极限高斯模型中建立了渐近极小极大结果。随后利用局部渐近等价结果，获得了从一组相同制备的独立量子系统估计低秩 qudit 的类似结果。我们也考虑了量子态线性泛函的估计问题。我们为该泛函构造了估计量，分析了其风险，并利用量子局部渐近等价证明我们的估计量在极小极大意义下也是最优的。