并封闭族中的最小权重

设 $\Omega$ 是一个有限集，$S$ 是 $\Omega$ 上的一个集族。对于 $x \in \Omega$，我们用 $d_{S}(x)$ 表示包含 $x$ 的 $S$ 中成员的个数。Frankl 的一个长期存在的猜想指出，如果 $S$ 是并封闭的，那么存在某个 $x \in \Omega$ 使得 $d(x) \geq |S|/2$。我们考虑一个相关问题。定义 $S$ 的权重为 $w(S)= \sum_{A \in S} |A|$。假设 $S$ 是并封闭的。$w(S)$ 能有多小？Reimer 证明了 $w(S) \geq |S| \log_{2} |S| /2$，并且这个不等式是紧的。在本文中，我们展示了如果对 $S$ 的定义域 $\Omega$ 有一些额外信息，如何改进他的界：如果 $S$ 分离 $\Omega$ 中的点，那么 $w(S) \geq \binom{|\Omega|}{2}$。当 $|\Omega| > \sqrt{|S|\log_2 |S|}$ 时，这比 Reimer 定理更强。此外，我们构造了一族例子，表明关于 $w(S)$ 的组合界除了在 $|\Omega|=\Theta (\sqrt{|S|\log_2 |S|})$ 区域外是紧的，在该区域可能相差一个因子 2。我们的证明还给出了平均度的下界：如果 $S$ 是一个分离点的并封闭族，那么其定义域上的平均度至少为 $1/2 \sqrt{|S| \log_2 |S|}+ O(1)$，并且除了一个因子 2 外，这是最佳可能的。