度量熵与混沌信号的最优预测

假设我们有一个时间序列或信号$x(t)$，其中$0\leq t\leq T$。我们考虑仅根据其历史知识预测区间$T<t\leq T+t_{f}$内信号的问题。我们提出以下问题：能够进行预测的$t_{f}$的最大值是多少？我们证明，这个问题的答案包含在Wyner、Ziv、Ornstein和Weiss提出的信息论基本结果中。特别地，对于混沌信号类，在$T\rightarrow\infty$的极限下，上界为$t_{f}\leq\log_{2}T/H$，其中$H$是文中解释意义上的熵。如果对于$0\leq s\leq\tau$（其中$\tau$约为一个特征时间尺度），$\bigl|x(T-s)-x(t^{\ast}-s)\bigr|$很小，那么导致$t=T$的事件模式与导致$t=t^{\ast}$的事件模式相似。因此，有理由期望$x(t^{\ast}+t_{f})$是$x(T+t_{f})$的良好预测值。所有现有的预测方法都以某种方式使用了这一思想。不幸的是，这个直观上合理的思想存在根本缺陷，所有现有方法都远未达到$t_{f}$的Wyner-Ziv熵界。最优预测器应将导致$t=T$的事件模式与导致$t=t^{\ast}$的模式之间的距离分解为稳定分量和不稳定分量。良好的匹配应具有适当小的不稳定分量，但通常允许稳定分量大到与正确预测的容差相当。对于双曲环面自同构这一特例，我们使用Padé逼近推导了一个最优预测器。