合并随机游走在大爆炸 regime 期间的均值场行为

本文考虑一般连通图$G=(V,E)$上的合并随机游走。我们建立统一框架研究$P_t$（时刻$t$被占据位点比例的期望）衰减率的首阶，特别是对于“大爆炸”regime，其中$t\ll t_{\text{coal}}:=\mathbb{E}[\inf\{s:\text{在时刻 }s\text{ 只有一粒粒子}\}]$。我们的结果表明，若图满足某些类暂态条件，则$P_t$满足特定均值场行为。我们将此框架应用于两类图族：(1) 由配置模型给出、度分布支撑于$[3,\bar d]$（某$\bar d\geq 3$）的图，以及 (2) 有限与无限顶点传递图。在第一种情形，我们表明对$1 \ll t \ll |V|$，$P_t$以$t^{-1}$阶衰减，且$(tP_t)^{-1}$近似于从对应单模Galton-Watson树根出发的两粒粒子中一粒离开根后永不相撞的概率，该值也大致为$|V|/(2t_{\text{meet}})$，其中$t_{\text{meet}}$为两游走者的平均相遇时间。通过取局部弱极限，对单模Galton-Watson树我们证明了$t\to\infty$时$tP_t$的收敛性。对第二类图，若取有限图序列$G_n=(V_n, E_n)$使得$t_{\text{meet}}=O(|V_n|)$且谱隙逆$t_{\text{rel}}$为$o(|V_n|)$，则对$t_{\text{rel}}\ll t\ll t_{\text{coal}}$，$(tP_t)^{-1}$近似于两随机游走在时刻$t$前永不相遇的概率，也为$|V|/(2t_{\text{meet}})$。此外，我们定义自然一致暂态条件，并表明其蕴含对上述所有$1\ll t\ll t_{\text{coal}}$成立。此类$tP_t$估计也对所有无限暂态传递单模图、特别是所有暂态传递顺从图获得。