图的最大 $k$- 与 $\ell$-着色问题

我们针对以下问题给出基于 SDP 的多项式时间算法：对固定的 $k \leq \ell$，给定实数 $\epsilon>0$ 以及一张图 $G$，若 $G$ 存在以 $\rho$ 比例的边被正确着色的 $k$-着色，则算法在关于 $G$ 和 $1 / \epsilon$ 的多项式时间内返回一个 $G$ 的 $\ell$-着色，其中以 $(\alpha \rho - \epsilon)$ 比例的边被正确着色。我们的算法基于 Frieze 和 Jerrum [Algorithmica'97] 以及 Karger、Motwani 和 Sudan [JACM'98] 的算法。当 $k$ 固定且 $\ell$ 充分大时，我们的算法达到近似比 $\alpha = 1 - o(1 / \ell)$。当 $k, \ell$ 均较大时，我们的算法达到近似比 $\alpha = 1 - 1 / \ell + 2 \ln \ell / k \ell - o(\ln \ell / k \ell) - O(1 / k^2)$；若固定 $d = \ell - k$ 并令 $k, \ell$ 充分大，则为 $\alpha = 1 - 1 / \ell + 2 \ln \ell / k \ell - o(\ln \ell / k \ell)$。通过将 Khot、Kindler、Mossel 和 O'Donnell [SICOMP'07] 的结果推广到承诺设定，我们证明对大的 $k$ 和 $\ell$，在假设 Khot 唯一博弈猜想 (\UGC) 下，若 $\ell$ 被一个 $o(\exp(\sqrt[3]{k}))$ 的函数所界，则达到大于 $1 - 1 / \ell + 2 \ln \ell / k \ell + o(\ln \ell / k \ell)$ 的近似比是 \NP-困难的。对 $d = \ell - k$ 固定的情形，该下界与我们的算法性能在 $o(\ln \ell / k \ell)$ 内吻合。此外，通过将 Guruswami 和 Sinop [ToC'13] 的结果推广到承诺设定，我们证明达到大于 $1 - 1 / \ell + 8 \ln \ell / k \ell + o(\ln \ell / k \ell)$ 的近似比是 \NP-困难的，同样在 $\ell$ 如前有界时（但此次不假设 \UGC）。