局部紧阿贝尔群上极大局部化的Gabor标准正交基

局部紧阿贝尔(LCA)群 $A$ 上的 Gabor 标准正交基,是由某个模板 $f\in L^2(A)$ 的时频平移构成的一组 $L^2(A)$ 的标准正交基。众所周知,在 $\mathbb{R}^d$ 上,此类基的元素不可能具有良好的时频局部化。而在含有紧开子群的 LCA 群上,情形截然不同:可以轻易构造出 $f$ 极大局部化的 Gabor 标准正交基的例子,其意义在于 $f$ 的模糊函数(即 $f$ 与其时频平移的互相关)具有相容于不确定性原理的最小测度支撑。本文找出了所有具有这一极值性质的 Gabor 标准正交基。为此,我们辨识出 $L^2(A)$ 中所有在上述意义下于时频空间中极大局部化的函数——这一问题即便对有限阿贝尔群也尚未解决。作为副产品,我们在每个含有紧开子群的 LCA 群上给出了 Lieb 不确定性不等式的全部极值函数,并展示了一般 LCA 群上此前未知的极值函数。