有符号图净 Laplacian 矩阵的矩阵树定理

对于具有邻接矩阵 $A$ 与净度矩阵 $D^{\pm}$ 的简单有符号图 $G$，净 Laplacian 矩阵为 $L^{\pm}=D^{\pm}-A$。我们引入一种新的有向关联矩阵 $N^{\pm}$，其可记录 $G$ 每条边的符号与方向。并且 $L^{\pm}=N^{\pm}(N^{\pm})^T$。利用此分解，我们根据 $L^{\pm}$ 的主子式给出 $G$ 的正与负生成树的数目，推广了无符号图的矩阵树定理。我们对无符号净 Laplacian 矩阵 $Q^{\pm}=D^{\pm}+A$ 给出类似结果，并给出其行列式的一个组合公式。