矩阵测度与自伴算子的有限秩扰动

矩阵值测度为有限秩扰动理论提供了自然的语言。本文中我们使用这一语言证明一些新的扰动理论结果。我们的主要结果是将 Aronszajn--Donoghue 定理（关于秩一扰动谱奇异部分相互奇异）推广到有限秩扰动的情形。简单的直和型例子表明精确的推广是不可能的。然而，本文我们引入了矩阵值测度的\emph{向量相互奇异}概念，并证明若使用此概念，相互奇异性对有限秩扰动仍成立。对于标量谱测度与经典的相互奇异性，我们证明对几乎所有扰动其奇异部分相互奇异。证明方法之一是使用 Aleksandrov 谱平均到矩阵值测度的推广，这也是本文的主要结果之一。最后，给出了扰动算子的谱表示。矩阵 Muckenhoupt $A_2$ 条件自然出现于其中，并在建立谱测度的向量相互奇异性中起着重要作用。