矩阵积分与虚纽结和链环的生成及计数

虚链环是经典链环的推广，可表示为嵌入在 $\Sigma\times I$ 中的链环，其中 $\Sigma\times I$ 是亏格为 $h$ 的 Riemann 面与区间的乘积。在本文中，我们证明虚交错链环和纽结自然地与 $N\times N$ 复矩阵上积分的 $1/N^2$ 展开相关联。我们提出，将这些图在通常（平面）flype 意义下的等价类进行计数是充分的。为检验此假设，我们使用一种通过置换对相应 Feynman 图进行编码的算法，生成至多 6 个交叉的虚图并计算各种不变量。在此假设下，我们利用矩阵积分的已知结果得到亏格 1 至 5 的虚交错纽结截至 10 阶（即 10 个实交叉）的生成函数。我们还计算了亏格 $h$ 且具 $n$ 个交叉的链环与纽结数目在 $n$ 很大时的渐近行为（$h=1,2,3$），并对一般的 $h$ 给出猜想。