旋转矩阵、对称与旋转对称

在本注记中，我们求出正交矩阵 $R,S\in M_3(\mathbb{R})$，它们分别对应于 $\mathbb{R}^3$ 中绕单位向量 $u=(a,b,c)^t$ 生成的轴通过角 $\alpha\in [0,2\pi)$ 的顺时针旋转 $r$，以及 $\mathbb{R}^3$ 中垂直于 $u$ 的平面上的对称 $s$。矩阵 $S$ 依赖于 $a,b,c$，矩阵 $R$ 依赖于 $a,b,c, \cos \alpha$ 和 $\sin \alpha$。我们证明 $SR=RS$。矩阵 $R$ 归于 Alperin。