$\mathrm{GL}(r, \mathbb{F}_{q}[T])$ 的模形式：Hecke 算子与展开系数的增长

我们确定了 Hecke 算子 $T_{\mathfrak{p},i}$ 在系数形式 $g_{1}, \dots, g_{r-1}, g_{r} = \Delta$ 及 $h$ 上的作用，这些系数形式共同生成了 $\mathrm{GL}(r, \mathbf{F}_{q}[T])$ 的模形式环。所有这些都是特征形式，以 $\pi$ 的幂作为特征值，其中 $\pi$ 是 $\mathbb{F}_{q}[T]$ 的素理想 $\mathfrak{p}$ 的首一生成元。我们进一步描述了判别式函数 $\Delta$ 的 $t$-展开系数的增长。这种增长特性使得 $\Delta$ 的乘积展开以及每个模形式的 $t$-展开均在 $\mathrm{GL}(r, \mathbf{F}_{q}[T])$ 的自然基本域上收敛。