永恒暴胀中的数学问题

本文研究了在随机永恒暴胀背景下，空间平坦 FLRW 宇宙的 Einstein 场方程解的存在性与唯一性问题，其中随机机制通过在 Klein-Gordon 方程中添加代表高斯白噪声的随机强迫项来建模。我们表明，在这些考量下，Klein-Gordon 方程实际上变成了一个随机微分方程。因此，Einstein 方程解的存在性与唯一性取决于该随机微分方程的系数是否满足 Lipschitz 连续性条件。我们证明，对于任意选择的 $V(\phi)$，Einstein 场方程都不是全局适定的，因此，找到的这些方程的解不能保证是唯一的。相反，系数在动力学变量的物理状态空间中至多是局部 Lipschitz 连续的，且仅存在至有限的爆破时间。我们进一步对任意幂律暴胀子势进行了 Feller 爆破检验，并证明了所有 EFE 的解都以概率 1 在有限时间内爆破。这意味着，如此考量的随机暴胀机制不能被描述为永恒的，因为永恒暴胀的概念本身就意味着该过程无限持续。因此，我们认为基于随机强迫项的随机暴胀不会在某些多重宇宙系综中产生无限数量的宇宙。一般而言，由于两种情况下的 Einstein 场方程都不是适定的，我们进一步得出结论：通过本文所考量的随机永恒暴胀机制存在多重宇宙，仍然是一个非常有待深入研究的开放性问题。