脉冲控制中的 ${\mathcal L}^1$ 极限解

我们考虑一个依赖于两个控制 u 和 v 的非线性控制系统，其动力学关于 u 的（无界）导数是仿射的，而 v 最初仅出现在漂移项中。近期，受缺乏强制性的优化问题应用的启发，文献[1]针对该系统提出了一种广义解的概念，称为极限解，它与可测的 u 和 v 相关联，且 u 在 [0,T] 上可能具有无界变差。如[1]所示，当 u 和 x 具有有界变差时，这种解（此时称为 BV 简单极限解）与最常用的图完备化解（例如参见[6]）一致。这种对应关系在[24]中被推广到 BV_loc 的 u 和轨迹（仅在任意 [0,t]（t<T）上具有有界变差）。从一个最优控制例子出发，其中最小值在极限解类中不存在，我们提出了一种扩展极限解 x 的概念，使得这样的最小值存在。作为第一个结果，我们证明了在 BV 和 BV_loc 输入 u（及解）的特殊情形下，扩展极限解与原始极限解是一致的。然后，我们考虑普通控制 v 也出现在非漂移项中的动力学。对于相应的系统，我们证明了在 BV 情形下，扩展极限解与图完备化解一致。