马尔可夫随机场、马尔可夫上循环与三色棋盘

著名的 Hammersley-Clifford 定理指出（在某些条件下），任何马尔可夫随机场都是最近邻相互作用的 Gibbs 态。在本文中，我们研究了 Hammersley-Clifford 定理的证明不适用的马尔可夫随机场。遵循 Petersen 和 Schmidt 的方法，我们利用同宿等价关系的上循环形式主义，引入“马尔可夫上循环”，即马尔可夫规范的重参数化。本文的主要部分利用这一点推导出 Hammersley-Clifford 定理的结论，适用于一类超出该定理范围的马尔可夫场，其底层图为 $\mathbb{Z}^d$。该类包括所有支撑集为 d 维“三色棋盘”的马尔可夫随机场。在另一个极端，我们构造了一类平移不变的马尔可夫随机场，它们不由任何有限范围平移不变相互作用给出。