将非负多项式表示为平方和

我们研究线性算子 $A:\mathbb{R}[x_1,\dots,x_n]\to\mathbb{R}[x_1,\dots,x_n]$。我们给出显式算子 $A$，使得对于固定 $d\in\mathbb{N}_0$ 和闭合子集 $K\subseteq\mathbb{R}^n$，都有 $e^A\mathrm{Pos}(K)_{\leq 2d}\subseteq\sum\mathbb{R}[x_1,\dots,x_n]_{\leq d}^2$。我们给出一个显式算子 $A$，使得 $e^A\mathrm{Pos}(\mathbb{R}^n)\subseteq\sum\mathbb{R}[x_1,\dots,x_n]^2$。对于 $K\subseteq\mathbb{R}^n$，我们给出条件，使得存在算子 $A$ 满足 $e^A\mathrm{Pos}(K)\subseteq\sum\mathbb{R}[x_1,\dots,x_n]^2$。我们指出，对于紧致子集 $K\subseteq\mathbb{R}^n$，不存在双射线性算子 $T:\mathbb{R}[x_1,\dots,x_n]\to\mathbb{R}[x_1,\dots,x_n]$ 使得 $T\mathrm{Pos}(K)\subseteq\sum\mathbb{R}[x_1,\dots,x_n]^2$。在常规 Fr\'echet Lie 群与 Lie 代数框架下，我们研究满足 $e^{tA}:\mathbb{R}[x_1,\dots,x_n]\to\mathbb{R}[x_1,\dots,x_n]$ 对所有 $t\in\mathbb{R}$ 都 well-defined 的线性算子 $A$。我们给出斯托切尔定理的一个三行证明。