利用 MCMC 迹间方差方法提升均值估计效率：DynaMITE

我们为 MCMC 均值估计引入一种新的统计度量——迹间方差 ${\rm trv}^{(\tau_{rel})}({\cal M},f)$，它依赖于马尔可夫链 ${\cal M}$ 和函数 $f:S\to [a,b]$。迹间方差可从观测数据高效估计，并带来更高效的 MCMC 均值估计器。先前的 MCMC 均值估计器以 $\tau_{mix}$ 或 $\tau_{rel}$ 的上界以及通常还有平稳方差作为输入，其性能高度依赖这些界是否紧。相反，我们提出 DynaMITE，它动态调整样本量，对输入的 $\tau_{rel}$ 上界宽松度较不敏感，且不需要 $v_{\pi}$ 的界。仅接收 $\tau_{rel}$ 的上界 ${\cal T}_{rel}$，DynaMITE 在 $\tilde{\cal{O}}\bigl(\smash{\frac{{\cal T}_{rel} R}{\varepsilon}}+\frac{\tau_{rel}\cdot {\rm trv}^{(\tau{{rel}})}}{\varepsilon^{2}}\bigr)$ 步内估计 $f$ 的均值，而无需平稳方差 $v_{\pi}$ 或迹间方差 ${\rm trv}^{(\tau rel)}$ 的先验界。因此我们对 ${\cal T}_{mix}$ 的紧度依赖最小，因为当 $\varepsilon \to 0$ 时复杂度由 $\tau_{rel}\rm{trv}^{(\tau{rel})}$ 主导。需注意，对 $\tau_{\rm rel}$ 定界已知极为困难，但 DynaMITE 仅利用迹间方差的性质，便将其对 ${\cal T}_{rel}$ 的主要依赖降至 $\tau_{rel}$。为将我们的方法与已知方差感知界比较，我们证明 ${\rm trv}^{(\tau{rel})}({\cal M},f) \leq v_{\pi}$。此外，我们证明当 $f$ 的像在 ${\cal M}$ 的迹上（半）对称分布时，有 ${\rm trv}^{({\tau{rel}})}({\cal M},f)=o(v_{\pi}(f))$，故 DynaMITE 在这些情况下优于先前方法。