MacNeille完备化与profinite完备化在有限生成模态代数上可以重合

遵循Bezhanishvili & Vosmaer，我们通过整合多位作者的结果，证实了Yde Venema的一个猜想。具体地，我们证明：如果$\mathbb{A}$是一个剩余有限、有限生成的模态代数，且$\operatorname{HSP}(\mathbb{A})$具有方程可定义的主同余，那么$\mathbb{A}$的profinite完备化同构于其MacNeille完备化，并且$\Diamond$是光滑的。这类模态代数的具体例子包括自由$\mathbf{K4}$-代数和自由$\mathbf{PDL}$-代数。