Mackey 本原性与齐次正规算子的交换元组

在这篇半综述性文章中，我们研究了 Mackey 于数十年前引入的本原性（imprimitivity）与齐次正规算子的交换 $d$-元组之间的关系。Hahn-Hellinger 定理给出了 $C_0(\mathbb{S})$ 的 $*$-代数表示 $\rho$（其中 $\mathbb S$ 是局部紧 Hausdorff 空间）到直和的典范分解。如果存在一个在 $\mathbb{S}$ 上可迁作用的群 $G$，并且通过群 $G$ 的酉表示 $U$ 适应于该 $*$-表示 $\rho$，换句话说，如果存在本原性，那么 Hahn-Hellinger 分解简化为单一分量，且群表示 $U$ 成为诱导表示，这就是 Mackey 的本原性定理。我们考虑紧拓扑空间 $S\subset \mathbb {C}^d$ 分解为有限多个 $G$-轨道的情形。在这种情况下，基于 $S$ 的本原性允许分解为基于这些轨道的本原性的直和。这种分解导致与联合谱恰好为 $G$-轨道闭包的齐次正规元组之间的对应关系。