valency 为 3 时 m 部有向半正则表示的 m 部图

设 $G$ 为有限群，$m \geq 2$ 为正整数。若存在一个 $m$-Cayley 图 $\Gamma$ 使得 $\Gamma$ 为有向且 $\mathrm{Aut}(\Gamma) \cong G$，则称 $G$ 采用 \emph{有向 $m$ 半正则表示}（缩写为 OmSR）。在 \cite{xu1} 中，我们分类了至多由两个元素生成的有限群，其 admits 一种 valency 为 3 的 OmSR。本文我们考虑 $m$-partite 图。若存在一个 \emph{有向} $m$-partite Cayley 图 $\Gamma$ 使得 $\mathrm{Aut}(\Gamma) \cong G$，则称 $G$ 采用 \emph{$m$ 部有向半正则表示}（$m$-partite digraphical representation，缩写为 $m$-POSR$或$m$-PDR$）。本文我们分类了至多由两个元素生成的有限群，其 admits $m$-POSR。由于若 $G$ admits $m$-POSR，则 $G$ 必然也 admits $m$-PDR（但反向不成立），因此我们自然也给出 valency 为 3 的 $m$-PDR 的完整分类。这补充了 \cite{xu2} 中的结果。