消失磁场中的低能本征态

本文致力于研究平面上半经典纯磁拉普拉斯算子在磁场 $B$ 在一条开放光滑曲线 $\Gamma$ 上非退化地消失的情况下的谱分析。我们证明了在尺度为 $h^{4/3}$ 的能量窗口内存在离散谱，并给出了此类窗口中本征值在半经典参数 $h$ 下的完整渐近展开。我们的策略依赖于将相应的本征函数微局域化到零点轨迹 $\Gamma$ 附近，并通过使用算子值伪微分演算和超绝热投影子实施 Born-Oppenheimer 策略。这使得我们能够将谱分析约化为一维有效半经典伪微分算子的谱分析，并应用著名的 Helffer-Sjöstrand 式半经典技术。