带惯性与 Hebbian 学习的 Kuramoto 模型的低维行为

我们研究带惯性与 Hebbian 学习的 Kuramoto 模型中的低维动力学。在该模型中，振子间的耦合强度依赖于振子间的相位差，并依据 Hebbian 学习规则变化。我们分析了两个耦合振子的特例，得到一个五维动力系统，其解耦为一个二维纵向系统和一个三维横向系统。我们直接写出纵向系统的精确解，随后将注意力集中于横向系统。我们利用线性稳定性分析对横向系统平衡点的稳定性进行分类。我们证明横向系统是耗散的，且其所有轨迹最终被限制在一个有界区域内。我们计算 Lyapunov 指数以推断横向系统可能的极限行为，并划分出三种定性不同行为的参数区域。借助低维动力学分析的见解，我们研究了原始高维系统在从具有不同方差的高斯分布抽取振子固有频率的情形。