从洛伦兹 sector 内部审视时空原子

近来，有人提出以时空原子来刻画最小尺度上时空预期的离散性质，通过在点 $P$ 及该点处的矢量 $v^a$ 的标量函数 $\rho$ 来表征其密度，从而捕捉其效应。这一工作是在由 $P$ 处洛伦兹 sector 经解析延拓所得的欧氏化空间中完成的。$\rho$ 由一种特殊的“有效”度规 $q_{ab}$ 定义，该度规亦为近期引入，其构造基于一个审慎的要求：在大（空间/时间）距离处 $q_{ab}$ 与 $g_{ab}$ 一致，而在重合极限下给出有限距离。本文报道了直接在洛伦兹 sector 中引入 $\rho$ 定义的尝试。这被证明并非一项平凡的任务，本质上源于零矢情形，即当 $v^a$ 为零矢时，因为此时我们甚至缺乏 $q_{ab}$ 的概念。本文提出了零矢情形下 $q_{ab}$ 的一个概念并推导了其表达式。据此可导出 $\rho$ 的表达式，结果与解析延拓所得者一致。结合类时/类空情形的考量，这潜在地完成了洛伦兹时空内 $q_{ab}$ 与 $\rho$ 的描述。