与Rényi散度相关的对数 majorization

对于$\alpha,z>0$且$\alpha\ne1$，受量子信息中不同种类Rényi散度比较的启发，我们考虑两个正（半）定矩阵$A,B$的矩阵函数\begin{align*} P_\alpha(A,B)&:=B^{1/2}(B^{-1/2}AB^{-1/2})^\alpha B^{1/2}, \\ Q_{\alpha,z}(A,B)&:=(B^{1-\alpha\over2z}A^{\alpha\over z}B^{1-\alpha\over2z})^z \end{align*}之间的对数 majorization。我们精确确定了使$P_\alpha(A,B)\prec_{\log}Q_{\alpha,z}(A,B)$与$Q_{\alpha,z}(A,B)\prec_{\log}P_\alpha(A,B)$分别成立的参数$\alpha,z$。