刺猬的Loewner演化与圆映射的2-共形测度

设 $f$ 为 $\mathbb{C}$ 中原点的无理中立不动点处的全纯微分同胚芽（即 $f(0) = 0, f'(0) = e^{2\pi i \alpha}, \alpha \in \mathbb{R} - \mathbb{Q}$）。Perez-Marco 证明了包含该不动点的非平凡不变完全连续统的唯一连续单调单参数族的存在性，称为 Siegel 紧集，并给出了这些紧集的补集共形映射到单位圆盘补集所得到的芽与圆映射族 $(g_t)$ 之间的对应。圆映射族 $(g_t)$ 是解析圆映射空间上局部定义的半群 $(\Phi_t)$ 的轨道，我们证明该半群具有良定义的无穷小生成元 $X$。利用与 hull 族 $(K_t)$ 相关的 Loewner 方程得到了 $X$ 的显式形式。我们证明了驱动该方程的 Loewner 测度 $(\mu_t)$ 是圆映射 $(z \mapsto \overline{g_t(\overline{z})})$ 在圆上的 2-共形测度。