局部有限树与拓扑子式关系

Nash-Williams的一个著名定理表明，在拓扑子式关系下，局部有限树的集合构成一个BQO（良拟序）。从集合论角度看，会产生两个非常自然的问题：（1）局部有限树的拓扑类型的数量 $\lambda$ 是多少？（2）局部有限树的等价类的可能大小是什么？对于（1），显然有 $\omega \leq \lambda \leq \mathfrak{c}$，而Matthiesen将其精炼为 $\omega_1 \leq \lambda \leq \mathfrak{c}$。因此，在不假设连续统假设时，该问题变得非平凡。本文通过证明——完全在ZFC内——对于一个包含具有可数多条射线（rays）的树的大类局部有限树：问题（1）的答案为 $\lambda = \omega_1$，而问题（2）的等价类大小只能为 $1$ 或 $\mathfrak{c}$，来同时回答这两个问题。