环上 $A_\infty$ 范畴与内 Hom 函子的范畴局部化

我们证明，在任意交换环上，dg 范畴、上同调幺半范畴、幺半范畴以及严格幺半 $A_\infty$ 范畴的范畴关于相应的拟等价类进行局部化后均是等价的。该结果是在 $\infty$-范畴层面通过考虑上述范畴的自然 $\infty$-范畴模型证明的。作为我们为比较上述局部化而开发的技术的一个应用，我们利用（严格）幺半 $A_\infty$ 函子范畴，为 dg 范畴同伦范畴的内 Hom 函子的存在性提供了一种新证明。这给出了 Kontsevich 和 Keller 提出的一个论断的完整证明。