铁磁流体自由表面上的局域化径向图案

本文研究了在均匀垂直磁场作用下铁磁流体表面局域化轴对称（径向）图案的存在性。我们形式化地考察了所有可能在图案中心（核心区）附近有界、并在远离图案中心（远场区）处指数衰减的小振幅解。结果针对具有线性磁化律的有限深度、无限广延铁磁流体给出。这些图案在Rosensweig不稳定性处分岔，此时外加磁场强度达到临界阈值。本文建立了求解非自治偏微分方程组局域化解的技术；将解分解到与半径无关的基上，从而将问题化为无穷组非线性、非自治常微分方程。利用径向中心流形理论，分别在核心区与远场区构造了小振幅解的局部流形。最后，利用几何放大坐标，我们匹配核心与远场流形；任何位于该交集上的解即为局域化径向图案。发现了三类不同的定态径向解：spot A与spot B解，它们具有两种不同的振幅标度律且在核心处达到最大振幅；以及ring解，其在远离核心处达到最大振幅。这些解恰好对应于Swift-Hohenberg方程中所发现的局域化径向解类别。我们考察了不同的线性磁化强度与铁磁流体深度值，并确定了各类局域化径向解涌现的参数区域。本文所采用的方法为未来严格确立轴对称局域化图案的存在性勾勒了路径。