由 Calabi-Yau 微分方程得到的局部 zeta 函数

流形的 zeta 函数与其周期密切相关，有时可完全由周期算出。我们在此报告针对具有一个复结构参数 phi 的 Calabi-Yau 流形族，一种实用且计算快速的该过程实现。尽管部分属猜想，但结果表明可直接由该族的 Picard-Fuchs 微分算子计算 X(phi) 第三上同调群上 Frobenius 映射的矩阵。为说明我们的方法，我们计算了六类随复杂度递增的流形在 phi 于 Fp 中变化时 zeta 函数四次分子式的表。其中四类流形，我们对 p=5,7,...,3583 的 500 个素数做了计算；两类流形则将计算扩展到 1000 个素数。p 在 5 到 97 的表为本文章一部分，其余表以电子形式附上。人们关注分子式可因式分解的情形。部分此类因式分解可与流形变得奇异的参数值相关联。对我们所考虑的情形，奇点均为锥形或超锥形类型。此时分子退化为三次式并分解为一次与二次因子之积。二次项的系数包含某模形式的第 p 个系数。我们的一些例子在参数满足于 Q 上不可因式分解的多项式方程时出现奇点。此时相应形式为带 neben 型或 Hilbert 模形式。分子也可分解为两个二次式。这发生于流形 Hodge 结构分裂时，有时在参数的代数值处发生，我们由此识别出参数空间秩为二的吸引子点。